Jagd auf scharfe Schwellen Ehud Friedgut Hebrew University. 3 Lokale Eigenschaften Eine Grapheneigenschaft wird lokal genannt, wenn sie die Eigenschaft ist, einen Teilgraphen aus einer gegebenen endlichen Liste endlicher Graphen zu enthalten. (Z. B. mit einem Dreieck oder einem Zyklus der Länge 17.) 4 Theorem: Wenn eine monotone Grapheneigenschaft eine grobe Schwelle hat, dann ist sie lokal. Nicht nutzbar durch eine lokale Eigenschaft. Fast-7 Anwendungen Konnektivität Perfekte Übereinstimmungen in Graphen 3-SAT Nehmen Sie an, im Widerspruch, Grobheit. Hypergraphen 8 Verallgemeinerung auf signierte Hypergraphen Verwendung von Bourgains Theorem. Oder, wie von Hatami und Molloy bestätigt: Ersetzen Sie G (n, p) durch F (n, p), eine zufällige 3-Sat-Formel, M durch eine Formel der festen Größe usw. (Der Beweis des ursprünglichen Kriteriums für die Grobheit geht Durch.) 10 Restriktive Mengen von Variablen Wir werden sagen, ein Fünffach von Variablen ist restriktiv, wenn sie alle auf true gesetzt werden rendert F unzufrieden. Unsere Annahmen implizieren, dass mindestens ein (1 -) - Anteil der Fünflinge restriktiv ist. 11 Erds-Stone-Simonovits Der Hypergraph restriktiver Fünffachs ist supergesättigt. Gibt es eine Konstante, so dass, wenn man 5 Triplets wählt, sie ein komplettes 5-teiliges System von restriktiven Fünflingen mit der Wahrscheinlichkeit bilden. Die Platzierung von Klauseln des Formulars (x 1 V x 2 V x 3) auf alle 5 Tripletts in einem solchen System macht F unzufrieden 12 Punchline Wenn 5 Klauseln zu F hinzugefügt werden, ist es mit der Wahrscheinlichkeit mindestens 2 nicht zufriedenstellend, so dass dies durch Addition von n 3 p-Klauseln erreicht wird Whp Und nicht mit Wahrscheinlichkeit kleiner als 1-2. Widerspruch 14 Faustregeln: Wenn es nicht lokal aussehen - dann ist es nicht. Semi-scharf scharf. Keine nicht-konvergierenden Schwingungen. 15 Eine halb-zufällige Stichprobe von offenen Problemen: Auswählbarkeit (Liste Farbzahl) Ramsey-Eigenschaften zufälliger Mengen von ganzen Zahlen Verschwindende Homotopiegruppe eines zufälligen zweidimensionalen simplicialen Komplexes. 16 Ein theoretischeres offenes Problem: F: Symmetrische Eigenschaften mit grober Schwelle haben eine hohe Korrelation mit lokalen Eigenschaften. Bourgain: Allgemeine Eigenschaften mit einer groben Schwelle haben positive Korrelation mit lokalen Eigenschaften. Was ist mit der allgemeinen Verallgemeinerung Wahrscheinlich wahr. Ich habe mein Doktorat von der Universität von Toronto im Jahr 2013, unter der Aufsicht von Toni Pitassi. Im Herbst 2013 besuchte ich das Sondersemester zur realen Analyse in der Informatik am Simons Institute, Berkeley. Winter 2014 bis Sommer 2015 Ich verbrachte am IAS in Princeton. Ich bin seit Herbst 2015 im Technion, wo ich eine öffentliche Homepage pflege. Ich kann über yuvalfi65131cs. technion. ac. il kontaktiert werden. Ich bin nicht überrascht, dass es mehrere Fragen mit einer einzigen Antwort, die von Yuval Filmus zur Verfügung gestellt. Yuval ist sehr aktiv bei der Beantwortung von Fragen. Er neigt auch dazu, sehr rasch zu reagieren und ausgezeichnete, klare Antworten zu geben. Es wäre nicht verwunderlich, wenn die meisten anderen die Frage erst sehen, nachdem Yuval bereits geantwortet hat, schauen sie auf seine Antwort, entdecken Sie, dass es hervorragend ist und denken Sie sich, ich kann nicht verbessern, dass diese bereits beantwortet und auf einige gehen andere Frage. Bandbreiten-Näherung einer beschränkten Familie von Bäumen (Masters These) Wir betrachten das NP-vollständige Optimierungsproblem Bandwith. Anupam Gupta gab einen O (log 2,5 n) Approximationsalgorithmus für Bäume und zeigte, dass sein Algorithmus ein Näherungsverhältnis von O (log n) auf Raupen aufweist. Bäume, die sich aus einem zentralen Pfad und Pfaden aus ihm. Wir zeigen, dass das gleiche Näherungsverhältnis bei Bäumen, die sich aus einem zentralen Pfad und Raupen, die von ihm ausgehen, erhalten werden. Unser Ergebnis stützt sich auf das folgende Lemma. Eine Folge a 1. Hellip, a n hat die Dicke Theta, wenn die Summe von d aufeinanderfolgenden Elementen höchstens d Theta ist, für 1le d le n. Wenn eine Sequenz die Theta-Dicke hat, dann hat die Sequenz, die durch die Anordnung der Elemente in nicht abnehmender Ordnung erhalten wird, auch die Dicke Theta-Spektralmethoden in Extremal-Kombinatorik (PhD-These) Extreme Kombinatorik untersucht, wie groß eine Sammlung von Objekten sein kann, wenn sie einen gegebenen Satz erfüllt Der Beschränkungen. In Anlehnung an einen klassischen Satz von Erd337s, Ko und Rado stellten Sominovits und Soacutes folgendes Problem: bestimmen Sie, wie groß eine Sammlung von Graphen auf dem Scheitelpunkt n sein kann, wenn der Schnittpunkt von zwei von ihnen ein Dreieck enthält. Sie vermuteten, dass die größte mögliche Sammlung, die 18 aller Graphen enthält, aus allen Graphen besteht, die ein festes Dreieck (ein Dreiecks-Stern) enthalten. Der erste Hauptbeitrag der Arbeit ist eine Bestätigung dieser Vermutung. Dieses Ergebnis erschien zuerst in unserer Arbeit Triangle-Kreuzung Familien von Graphen mit David Ellis und Ehud Friedgut. Wir beweisen die SimonovitsndashSoacutes-Vermutung in der folgenden starken Form: Die einzigen dreieckschneidenden Familien des maximalen Maßes 18 sind Dreieckssterne (Eindeutigkeit), und jede Dreiecks-schneidende Maßeinheit 18minus epsilon ist O (epsilon) - nähe zu einem Dreieck - Star (Stabilität). Unser Beweis verwendet Spektralmethoden (Hoffmans gebunden). Um den Stabilitätsbestandteil unseres Theorems zu beweisen, verwenden wir einen Strukturtheorem für boolesche Funktionen auf m, dessen Fourier-Expansion auf die ersten t & sub1; - Stufen durch Kindler und Safra konzentriert ist. Der zweite Hauptbeitrag dieser Arbeit besteht aus zwei Analoga dieses Theorems für Boolesche Funktionen auf S m, deren Fourier-Expansion auf die ersten beiden Ebenen konzentriert ist. Diese Ergebnisse erscheinen in unseren Beiträgen Ein Quasi-Stabilitäts-Ergebnis für Diktaturen in S n und A Stabilitätsresultate für ausgeglichene Diktaturen in S n. Beide mit David Ellis und Ehud Friedgut. In ähnlicher Weise, wie das KindlerndashSafra-Theorem für das Studium von Dreiecks-schneidenden Familien nützlich ist, sind unsere Strukturtheoreme nützlich für das Studium von sich überschneidenden Familien von Permutationen, die Familien sind, in denen sich zwei Permutationen auf das Bild von mindestens einem Punkt einigen. Mit einem unserer Sätze geben wir einen einfachen Beweis des folgenden Ergebnisses von Ellis, Friedgut und Pilpel: Eine schneidende Permutationsfamilie auf S m von der Größe (1minus epsilon) (m minus1) ist O (epsilon) - close zu einem Doppelten Coset, eine Familie, die aus allen Permutationen besteht, die einen Punkt i zu einem Punkt j senden. Die Diplomarbeit enthält eine detaillierte Darstellung von Friedguts-Papier Auf dem Maß von sich überschneidenden Familien, Einzigartigkeit und Stabilität. Ein Beweis des Ahlswedendaschschen Satzes in der mu p-Einstellung. Und eine sanfte Einführung in die Darstellungstheorie von S n aus der Sicht der Klassenfunktionen. Kombinatorik Triangle-schneidende Familien von Graphen (mit David Ellis und Ehud Friedgut) Journal of the European Mathematical Society, Volume 14, Issue 3, 2012, pp. 841ndash885 Eine Familie von Graphen soll dreieckschneidend sein, wenn die Kreuzung von zwei Graphen in der Familie enthält ein Dreieck. Eine Vermutung von Simonovits und Soacutes von 1976 besagt, dass die grßten dreieckschneidenden Familien von Graphen auf einer festen Menge von n Vertices diejenigen sind, die durch Fixieren eines spezifischen Dreiecks erhalten werden, wobei alle Graphen, die es enthalten, resultieren, was zu einer Familie führt, die 18 von allen Graphen enthält. Wir beweisen diese Vermutung und einige Verallgemeinerungen (wenn wir z. B. beweisen, daß das Gleiche auch bei ungeraden Zyklus-schneidenden Familien zutrifft, so erhalten wir die beste Grenze der Familie unter verschiedenen, nicht notwendigerweise einheitlichen Maßnahmen). Wir erhalten auch Stabilitätsresultate, die zeigen, dass fast-größte Dreiecks-schneidende Familien ungefähr die gleiche Struktur haben. Die ArXiv-Version korrigiert einen Fehler im Beweis des Stabilitätsabschnitts von Korollar 2.3. Der ursprüngliche Beweis nahm an, dass die approximierende Familie G ungerad-zyklisch-übereinstimmt, und folgerte, dass G eine Dreiecksjunta aus der Einzigartigkeit sein muss. Jedoch zeigt, dass G ungerade Zyklus-Zustimmung erfordert ein separates Argument, gefunden in der neuen Version. Eine alternative Darstellung der Ergebnisse in dieser Arbeit finden Sie in meiner Dissertation. Ahlswedendaschchachatrische Theoreme: gewichtet, unendlich und Hamming Wir liefern einen vollständigen Beweis des Ahlswedendaschchachatrians in der mu p-Einstellung: für alle Werte von n. T und p bestimmen wir die maximale mu p - Messung einer t-schneidenden Familie auf n Punkten und beschreiben alle optimalen Familien (mit Ausnahme einiger außergewöhnlicher Parametereinstellungen). Unser Beweis beruht auf Argumenten von Ahlswede und Khachatrian. Wir bestimmen auch, was bei Familien an unendlich vielen Punkten geschieht. Schließlich beschreiben wir Analoga des AhlswedendaschKhachatschen Theorems auf x2124 m n (Hamming-Schema). Zwanzig (einfache) Fragen (mit Yuval Dagan, Ariel Gabizon und Shay Moran) Bei einer Verteilung mu. Das Ziel der Verteilung 20 Fragen Spiel ist es, eine Strategie, die ein unbekanntes Element aus mu mit so wenig yesno Abfragen im Durchschnitt identifiziert zu konstruieren. Huffmans Algorithmus konstruiert eine optimale Strategie, aber die Fragen muss man fragen willkürlich sein. Bei gegebenem Parameter n. Wir fragen, wie groß ein Satz von Fragen Q sein muss, damit für jede Verteilung, die auf n unterstützt wird, gibt es eine gute Strategie, die nur Fragen von Q verwendet. Unser erstes Hauptergebnis ist, dass eine lineare Anzahl von Fragen (entsprechend binären Vergleichs-Suchbäumen) genügt, um die H (mu) & sub1; - Performance des Huffmans-Algorithmus wiederherzustellen. Als Folgerung folgt, dass die Anzahl der Fragen, die erforderlich sind, um die Kosten von höchstens H (mu) r (für ganzzahl r) zu garantieren, asymptotisch für rn 1 r ist. Unser zweites Hauptresultat ist, dass (ungefähr) 1,25 n Fragen genügen, um die Leistung des Huffmans Algorithmus genau zu entsprechen, und das ist für unendlich viele n eng. Wir bestimmen auch die Anzahl der Fragen, die ausreichend sind, um die Leistung des Huffmans-Algorithmus bis r zu Theta (n Theta (1 r)) anzupassen. Schließlich zeigen wir, dass der Satz von Fragen, die verwendet werden, um das gebundene H (mu) 1 zu erhalten, besser ist, wenn die maximale Wahrscheinlichkeit von mu klein ist, was die Leistung zwischen 0,5011 und 0,58607 begrenzt. Analyse von Booleschen Funktionen Ein Quasi-Stabilitäts-Ergebnis für Diktaturen in S n (mit David Ellis und Ehud Friedgut) Combinatorica, Band 35, Ausgabe 5, 2015, Seiten 573ndash618 Wir beweisen, dass Boolesche Funktionen auf S n, deren Fourier-Transformation stark konzentriert ist Sind die ersten beiden irreduziblen Darstellungen von S n in der Nähe von Vereinigungen von Cosets von Punktstabilisatoren. Wir verwenden dies, um einen natürlichen Beweis eines Stabilitätsergebnisses auf sich überschneidenden Familien von Permutationen zu liefern, die ursprünglich von Cameron und Ku angenommen wurden und erstmals von David Ellis bewiesen wurden. Wir verwenden sie auch, um ein lsquoquasi-Stabilitäts-Ergebnis für eine rand-isoperimetrische Ungleichung im Transpositionsgraphen auf S n zu beweisen. Nämlich dass Teilmengen von S n mit kleiner Randgrenze in dem Transpositionsgraphen in der Nähe von Vereinigungen von Kationen von Punktstabilisatoren sind. Eine alternative Darstellung des Haupttheorems (ohne die zweite Anwendung) findet sich in meiner Dissertation. Ein stabiles Ergebnis für ausgeglichene Diktaturen in S n (mit David Ellis und Ehud Friedgut). Wir beweisen, dass eine symmetrische Boolesche Funktion auf S n, deren Fourier-Transformation stark konzentriert ist, nachgewiesen wird Sind die ersten beiden irreduziblen Darstellungen von S n in ihrer Struktur zu einer Diktatur, einer Funktion, die durch das Bild oder Vorbild eines einzelnen Elements bestimmt wird, nahe. Als Folge davon erhalten wir ein Stabilitätsresultat bezüglich extremer isoperimetrischer Mengen in dem durch die Transpositionen erzeugten Cayley-Graphen auf S n. Unser Beweis funktioniert in dem Fall, in dem die Erwartung der Funktion von 0 und 1 beschränkt ist. Im Gegensatz dazu befasst sich der vorstehende Beitrag mit booleschen Erwartungsfunktionen O (1 n), deren Fourier-Transformation hochkonzentriert ist auf die ersten beiden irreduziblen Darstellungen von S n. Diese müssen nicht in der Nähe von Diktaturen sein, sie müssen in der Nähe einer Vereinigung von einer konstanten Anzahl von Kofelien von Punktstabilisatoren sein. Eine alternative Darstellung des Haupttheorems findet sich in meiner Dissertation. Niedriggradige Boolesche Funktionen auf S n. (Mit David Ellis und Ehud Friedgut) Wir beweisen, dass Boolesche Funktionen auf S n, dessen Fourier-Transformation hochgradig auf irreduzible Darstellungen konzentriert ist, die durch Partitionen von n, deren größter Teil die Größe mindestens n minus t hat, nahe stehen, Von Kationen von Stabilisatoren von t-Tupeln. Wir erhalten auch eine Rand-Isoperimetrische Ungleichung für den Transpositionsgraphen auf S n, der für Mengen von Maßeinheiten 1poly (n) asymptotisch scharf ist. Dann kombinieren wir beide Ergebnisse, um eine bestmögliche Rand-Isoperimetrie-Ungleichung für Mengen von Grße (n minus t) zu erhalten, wobei n groß ist, verglichen mit t. Was eine Vermutung von Ben-Efraim in diesen Fällen bestätigt. Auf der Summe der L1-Einflüsse beschränkter Funktionen (mit Hamed Hatami, Nathan Keller und Noam Lifshitz) ist es bekannt, daß f eine boolesche Funktion des Grades ist D ist sein gesamter Einfluß durch d begrenzt. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Definition des Einflusses auf nicht-boolesche Funktionen zu erweitern. Der übliche Weg ist, den Einfluss der i-ten Variablen als L2-Norm der diskreten Ableitung in Richtung i zu definieren. Unter dieser Definition ist der gesamte Einfluß einer beschränkten Funktion (um 1 in der Grße begrenzt) noch durch den Grad oberhalb begrenzt. Aaronson und Ambainis fragten, ob der gesamte L1-Einfluß polynomiell durch den Grad beschränkt werden kann, und dies wurde von Ba269kurs und Bayer bejaht. Die eine Obergrenze von O (d 3) für allgemeine Funktionen und O (d 2) für homogene Funktionen zeigte. Wir verbessern ihre Ergebnisse, indem wir im allgemeinen Fall eine obere Schranke von d 2 und im homogenen Fall O (d log d) angeben. Unsere Beweise sind auch viel einfacher. Wir geben auch eine nahezu optimale Schranke für monotone Funktionen, d 2 pi o (d). Eine orthogonale Basis für Funktionen über einer Scheibe des booleschen Würfels Elektronisches Journal der Kombinatorik Johnson und Kneser sind Graphen, die auf den k-Sets von n definiert sind, einem Scheitelpunkt, der als Scheibe des Booleschen Würfels bekannt ist. Zwei Sätze sind in der Johnson-Grafik angeschlossen, wenn sie Hamming Abstand zwei haben, und in der Kneser-Grafik, wenn sie disjunkt sind. Beide Graphen gehören der BosendashMesner-Algebra des Johnson-Assoziationsschemas an. Das bedeutet nur, dass, ob eine Kante zwei Sätze S, T verbindet, nur von der 124 S-Kappe T 124 abhängt. Alle Graphen, die zur BosendashMesner-Algebra gehören, haben dieselben Eigenräume Die aus bestimmten Darstellungen der symmetrischen Gruppe hervorgehen. Die Multiplizität des k-ten Eigenraums ist ziemlich groß, C (n, k) minus C (n, k minus1). Soweit wir erkennen können, wurde vor unserer Arbeit keine explizite orthogonale Basis für diesen Eigenraum gezeigt. Wir stellen eine einfache orthogonale Basis für die Eigenräume der BosendaschMesner-Algebra des Johnson-Assoziationsschemas dar, die aus Youngs orthogonaler Basis für die symmetrische Gruppe entsteht. Unsere Präsentation ist völlig elementar und erwähnt nicht die symmetrische Gruppe. Als Anwendung setzen wir den Wimmers-Beweis des Friedguts-Theorems für die Scheibe neu. Der ursprüngliche Beweis macht große Berechnungen über die symmetrische Gruppe. Wir sind in der Lage, diese Berechnungen direkt in der Scheibe mit unserer Basis zu tun. FriedgutndashKalaindashNaor Theorem für Scheiben des booleschen Kubus Chicago Journal of Theoretical Informatik Der FriedgutndashKalaindashNaor Theorem ist ein grundlegendes Ergebnis in der Analyse der booleschen Funktion. Wenn eine Boolesche Funktion f nahe einer affinen Funktion ist, dann ist f nahe bei einer affinen Booleschen Funktion, die von höchstens einer Koordinate abhängen muß. Wir beweisen ein Analogon dieses Satzes für Scheiben des booleschen Würfels (eine Scheibe besteht aus allen Vektoren mit einem gegebenen Hamming-Gewicht). In dem kleinen Fehlerregime zeigt unser Satz, daß f nahe einer Funktion ist, die von höchstens einer Koordinate abhängt, und allgemein zeigen wir, daß f oder seine Negation nahe einem Maximum einer kleinen Anzahl von Koordinaten ist (dies entspricht einer Vereinigung Von Sternen, die aus allen Elementen bestehen, die ein bestimmtes Element enthalten). Das klassische Invarianzprinzip von Mossel, ODonnell und Oleszkiewicz besagt, dass die Verteilung niedermolekularer, wenig beeinflussender multilinearer Polynome unter Bernoulli-Zufallsvariablen ähnlich ist wie ihre Verteilung unter Gaußsche Zufallsvariablen mit der gleichen Erwartung und Varianz. Wir beweisen ein Invarianzprinzip für Funktionen auf dem Slice (alle Vektoren im Boolschen Würfel mit einem festen Hamming-Gewicht). Die Hauptschwierigkeit ist, dass die Variablen nicht mehr unabhängig sind. Als Korollar, beweisen wir eine Version der Mehrheit ist stablest. Ein Bourgain Schwanz gebunden. Und eine schwache Version des KindlerndashSafra Theorems. Das KindlerndashSafra-Theorem impliziert ein Stabilitätsresultat für t-schneidende Familien nach dem Vorbild von Friedgut. In der Folgearbeit (siehe unten) verbessern wir das Invarianzprinzip, indem wir den Zustand der niedrigen Einflüsse (falls zutreffend) beseitigen. Das klassische Invarianzprinzip von Mossel, ODonnell und Oleszkiewicz besagt, dass die Verteilung niedermolekularer, wenig beeinflussender multilinearer Polynome unter einer Produktverteilung im Wesentlichen nur von den ersten beiden Momenten abhängt Dieser Verteilung. In neueren Arbeiten mit Kindler und Wimmer (siehe oben) erweitern wir diese auf harmonische multilineare Polynome auf der Scheibe. In dieser Arbeit haben wir Invarianz in bezug auf die folgenden drei Verteilungen bewiesen: die gleichmäßige Verteilung auf einer Scheibe, die passende schiefe Verteilung auf dem booleschen Würfel und die entsprechende Gaußsche Scheibe (oder der Gaußsche Raum sind die Verteilungen gleich). Dieses Invarianzprinzip erfordert, daß die Funktion einen geringen Grad und niedrige Einflüsse aufweist. Während der Zustand der niedrigen Einflüsse beim Vergleich diskreter Verteilungen zum Gaußschen Raum erforderlich ist (betrachten Sie das Polynom x 1), ist eine solche Bedingung nicht mehr notwendig, wenn man die gleichmäßige Verteilung auf einer Scheibe mit der passenden schrägen Verteilung auf dem booleschen Würfel vergleicht. In dieser Arbeit beweisen wir ein Invarianzprinzip für diese beiden Verteilungen ohne Bedingung auf die Einflüsse. Mit dem klassischen Invarianzprinzip können wir leicht die allgemeinere Invarianz, die wir mit Kindler und Wimmer bewiesen haben, ableiten. Unser neuer Beweis ist völlig anders und benutzt einen Martingalansatz. Wir ergänzen das Invarianzprinzip, indem wir mehrere Eigenschaften harmonischer multilinearer Polynome vorwerfen. Während die meisten dieser Eigenschaften früher in meinem Papier unter Verwendung einer expliziten orthogonalen Basis für die Scheibe bewiesen wurden, sind die Proofs, die in diesem Papier erscheinen, viel einfacher und erfordern nicht die Basis. Wir hoffen, dass die neuen Beweise einfacher zu anderen Einstellungen verallgemeinert werden können. Rechenkomplexität Die Komplexität des Komparatorschaltungswertproblems (mit Stephen A. Cook und Dai Lecirc) Im Jahr 1990 definierte Subramanian die Komplexitätsklasse CC als die Menge des Problemprotokollraums, reduzierbar auf das Komparatorschaltungswertproblem (CCV). Er und Mayr zeigten, dass NLsubeCCsubeP, und bewiesen, dass zusätzlich zu CCV mehrere andere Probleme für CC, einschließlich der stabilen Ehe Problem abgeschlossen sind, und die Suche nach der lexikographisch ersten maximalen Übereinstimmung in einem bipartiten Graphen. Obwohl die Klasse nicht viel Aufmerksamkeit seit damals erhalten hat, sind wir an CC interessiert, weil wir vermuten, dass es mit der Parallelklasse NC unvergleichbar ist, die auch NLsubeNCsubeP erfüllt, was bedeutet, dass CC-komplette Probleme nicht über einen effizienten Polylog-Zeitparallelalgorithmus verfügen. Wir beweisen unsere Vermutung, indem wir Orakel-Einstellungen vornehmen, in denen relativiertes CC und relativiertes NC unvergleichbar sind. Wir geben mehrere alternative Definitionen von CC an, unter anderem die Klasse von Problemen, die von einheitlichen Polynomgrößenfamilien von Komparatorschaltungen berechnet werden, die mit Kopien der Eingabe und ihrer Negation, der Klasse von Problemen AC 0 - reduzierbar für CCV und der Klasse von Problemen, die durch gleichförmige AC 0-Schaltungen mit CCV-Gattern berechnet werden. Wir geben auch ein Maschinenmodell für CC an, das seinen Charakterisierungen als logarithmische einheitliche Polynomfamilien von Komparatorschaltungen entspricht. Die verschiedenen Charakterisierungen zeigen, dass CC eine robuste Klasse ist. Unsere Techniken zeigen auch, dass die entsprechende Funktionsklasse FCC unter Komposition geschlossen ist. Das wichtigste technische Werkzeug, das wir verwenden, sind universelle Komparatorschaltungen. Weitere Ergebnisse sind ein einfacherer Beweis für NLsubeCC, eine sorgfältigere Analyse, die zeigt, dass das lexikographisch erste maximale Matching-Problem und seine Varianten CC-complete unter AC 0 viele-eins-Reduktionen und eine Erklärung der Beziehung zwischen dem GalendashShapley-Algorithmus und Subramanians Algorithmus für sind Stabile Ehe. Dieses Papier setzt die bisherige Arbeit von Cook, Lecirc und Ye, die auf CookndashNguyen Stil einheitlichen Beweis Komplexität konzentriert, beantwortet mehrere offene Fragen, die in diesem Papier. Der Preprint enthält mehr Ergebnisse als die ArXiv-Version und die Präsentation ist anders. Die Berechnung der Booleschen Funktion f durch eine Schaltung oder das Vermittlungsnetzwerk M ist eine Berechnung, bei der M in der Mehrzahl der Berechnungen f korrekt berechnet wird. Die Berechnung der Booleschen Funktion f für die monotone Vermittlungsnetze (mit Toniann Pitassi, Robert Robere und Stephen A. Cook) (Und nicht auf allen). Abgesehen davon, dass sie in ihrem eigenen Interesse interessant sind, haben sich in vielen Teilbereichen der Komplexitätstheorie, wie Kryptographie und Dendritisierung, niedere Schranken für die approximative Berechnung als nützlich erwiesen. Untergrenzen für die approximative Berechnung werden auch als Korrelationsgrenzen oder mittlere Fallhärte bezeichnet. Für eine Funktion in monotonem P erhalten wir die erste mittlere Monotone Tiefenuntergrenze. Wir tolerieren Fehler bis zu 12minus1 n 13minus delta. Im Einzelnen zeigen wir für die GEN-Funktion eine durchschnittliche exponentielle Untergrenze für die Größe der monotonen Vermittlungsnetze. Als Korollar setzen wir fest, dass es für jedes i Funktionen gibt, die ohne Fehler im monotonen NC i 1 berechnet werden können, aber nicht ohne großen Fehler durch monotone Schaltungen in NC i berechnet werden können. Wir bieten eine ähnliche Trennung zwischen monotoner NC und monotoner P. Unser Beweis erweitert und vereinfacht die Fourier-analytische Technik durch Potechin und weiter entwickelt von Chan und Potechin. Als Konsequenz unserer Hauptuntergrenze beweisen wir, dass der Kommunikationskomplexitätsansatz für monotone Tiefenschranken nicht natürlich auf die durchschnittliche Falleinstellung verallgemeinert wird. Schnelle Matrixmultiplikation: Einschränkungen der Lasermethode (mit Andris Ambainis und Franccedilois Le Gall) Coppersmith und Winograd lieferten einen O (n 2.376) Algorithmus für die Matrixmultiplikation im Jahr 1990. Ihr Algorithmus beruht auf einer Identität, die als CoppersmithndashWinograd Identität bekannt ist. Coppersmith und Winograd haben einen O (n 2.388) - Algorithmus, der die Identität analysiert, wie sie die Strassens-Lasermethode und eine geniale Konstruktion verwendet. Das Tensorquadrat der Basisidentität führt zu dem verbesserten Algorithmus. Vor kurzem gab es einen Anstieg der Aktivität in der Gegend. Stüters, Vassilevska-Williams und Le Gall studierten höhere und höhere Tensorkräfte der grundlegenden Identität, die in Le Galls O (n 2.3728639) Algorithmus gipfeln. Wie weit kann dieser Ansatz gehen Wir beschreiben ein Framework, Laser-Methode mit Merging. Welche alle eben beschriebenen Algorithmen umfaßt und zugleich allgemeiner und der Analyse zugänglich ist. Wir zeigen, dass die N-ten Tensorleistung für ein beliebiges N keinen Algorithmus mit der Laufzeit O (n 2.3725) für die exakte Identität erhalten kann, die in modernen Algorithmen verwendet wird. Wir diskutieren die folgende allgemeine Frage: Wie ändert sich die Informationskomplexität einer Funktion, wenn wir einen nicht vernachlässigbaren Fehler zulassen Unsere Antworten haben Auswirkungen auf die Kommunikationskomplexität von set Disjointness mit nicht vernachlässigbarem Fehler. Proof-Komplexität Exponentielle untere Schranken für AC 0 - Frege implizieren superpolynomische Frege-Untergrenzen (mit Toniann Pitassi und Rahul Santhanam) ICALP 2011, ToCT 2015 Wir geben eine allgemeine Transformation an, die polynomiale Frege-Proofs auf subexponentielle AC 0 - Frege-Proofs umwandelt. Dies zeigt, dass die Bestimmung von exponentiellen Untergrenzen für AC 0 - Frege schwierig ist, da es ein langjähriges offenes Problem ist, super-polynomische Untergrenzen für Frege zu untersuchen. Unser Aufbau ist optimal für baumartige Proofs. Als Resultat unseres Hauptergebnisses können wir die Frage der schwachen Automatisierbarkeit für flächendeckende Frege-Systeme erhellen. Zuerst präsentieren wir einen einfacheren Beweis für die Ergebnisse von Bonet et al. Dass kryptographische Annahmen, begrenzte Tiefe Frege Beweise sind nicht schwach automatisierbar. Zweitens zeigen wir, dass unser Beweis unter den richtigen kryptographischen Annahmen allgemeiner ist, da er die schwache Automatisierbarkeit für tiefe Frege-Systeme lösen kann. Die Verfahrensversion enthält mehrere kleine Fehler, die in der Vorabdruckversion korrigiert wurden. Diese Fehler beeinflussen die Konstanten im Haupttheorem leicht. Die Komplexität der Komplexität in der Polynomrechnung (mit Massimo Lauria, Jakob Nordstroumlm, Neil Thapen und Noga Zewi) CCC 2012, SICOMP 2015 In den letzten zehn Jahren war eine aktive Forschungslinie zur Beweiskomplexität die Untersuchung von Raumkomplexität und Zeit-Kompromissen Für Beweise. Abgesehen davon, dass es sich um ein natürliches Komplexitätsmaß von intrinsischem Interesse handelt, ist der Raum auch ein wichtiges Thema bei der SAT-Lösung, und so hat sich die Forschung vor allem auf schwache Systeme konzentriert, die von SAT-Solvern verwendet werden. Es gab eine relativ lange Abfolge von Papieren auf dem Raum in der Auflösung, die jetzt vernünftigerweise aus diesem Gesichtspunkt gut verstanden wird. Für andere natürliche Kandidaten zum Studium jedoch, wie Polynomkalkül oder Schnittebenen, ist sehr wenig bekannt. Wir kennen keine untrennbaren Raumuntergrenzen für Schnittebenen, und für Polynomkalküle ist die einzige untere Grenze für CNF-Formeln unbegrenzter Breite in Alekhnovich et al. Gewesen, wo die untere Raumgrenze kleiner als die ursprüngliche Breite der Klauseln ist In den Formeln. Insbesondere stimmt es damit im Einklang mit dem gegenwärtigen Wissen, daß die Polynomkalkül imstande wäre, jede k-NF-Formel im konstanten Raum zu widerlegen. Wir beweisen mehrere neue Ergebnisse des Raumes im Polynomkalkül (PC) und im erweiterten Proofsystem die von Alekhnovich et al. Untersuchte Polynomkalkülauflösung (PCR). Wir beweisen eine Omega (n) - Raumuntergrenze für die kanonische 3-CNF-Version der Taubenschlagprinzipformeln mit m Tauben und n Löchern und zeigen, dass diese eng ist. Für die PCR beweisen wir eine Omega (n) - Raumuntergrenze für eine bitweise Kodierung des funktionellen Taubenlochprinzips. Diese Formeln haben die Breite O (log n), und das ist eine exponentielle Verbesserung gegenüber Alekhnovich et al. Gemessen in der Breite der Formeln. Anschließend präsentieren wir eine weitere Codierung des Pigeonhole-Prinzips, die eine konstante Breite aufweist und auch für diese Formeln eine Omega (n) - Raumuntergrenze in der PCR nachweisen kann. Schließlich beweisen wir, dass jede k-CNF-Formel im PC in gleichzeitiger exponentieller Größe und im linearen Raum widerspiegelt werden kann (was für die Auflösung und somit für die PCR gilt, aber für PC nicht offensichtlich war). Wir charakterisieren auch eine natürliche Klasse von CNF-Formeln, für die die Raumkomplexität in Auflösung und PCR sich nicht ändert, wenn die Formel auf kanonische Weise in 3-CNF umgewandelt wird, was wir für nützlich halten können, wenn wir PCR-Raumuntergrenzen für andere untersuchen Gut untersuchte Formelfamilien in der Beweiskomplexität. Auf dem Weg zu einem Verständnis des Polynomkalküls: Neue Trennungen und Untergrenzen (mit Massimo Lauria, Mladen Mik353a, Jakob Nordstroumlm und Marc Vinyals) Im letzten Jahrzehnt war eine aktive Forschungslinie in der Beweiskomplexität in die Raumkomplexität von Beweisen eingeflossen Raum bezieht sich auf andere Maßnahmen. Inzwischen sind diese Aspekte der Auflösung ziemlich gut verstanden, aber viele offene Probleme bleiben für die verwandte, aber stärker Polynom-Kalkül (PCPCR) Proof-System. Zum Beispiel ist die Raumkomplexität vieler Standard-ldquobenchmark Formeln noch offen, sowie die Beziehung von Raum zu Größe und Grad in PCPCR. Wir beweisen, dass, wenn eine Formel eine große Auflösung benötigt, dann die XOR-Substitution eine Formel ergibt, die einen großen PCR-Raum erfordert, wobei einige Indizien dafür sorgen, dass der Grad eine untere Grenze für den Raum sein kann. Noch wichtiger ist, dass dies sofort Formeln, die sehr schwer für den Raum sind, aber sehr einfach für die Größe, die eine Größe-Raum-Trennung ähnelt, was für die Auflösung bekannt ist. Mit Hilfe von verwandten Ideen, zeigen wir, dass, wenn ein Graph eine gute Expansion hat und zusätzlich seine Kantenmenge in kurzen Zyklen aufgeteilt werden kann, dann die Tseitin Formel über diese Grafik erfordert große PCR-Raum. Insbesondere benötigen Tahlin-Formeln über zufällige 4-reguläre Graphen fast Platz für mindestens Omega (n 12). Unsere Beweise verwenden Techniken neu von Bonacina und Galesi eingeführt. Unser letzter Beitrag ist, zu zeigen, dass diese Techniken nachweislich nicht unkonstante Raumuntergrenzen für das funktionale Taubenlochprinzip liefern können, die Grenzen dieses Rahmens abgrenzen und darauf schließen lassen, dass wir noch weit davon entfernt sind, den PCPCR-Raum zu charakterisieren. Von kleinen Räumen bis zur kleinen Breite in Auflösung (mit Mladen Mik353a, Jakob Nordstroumlm und Marc Vinyals) Im Jahr 2003 beschlossen Atserias und Dalmau eine große offene Frage über das auflösungssichere System, indem sie festlegten, dass die Raumkomplexität der Formeln immer ein oberer ist Gebunden auf die Breite benötigt, um sie zu widerlegen. Ihr Beweis ist schön, aber etwas mysteriös, da sie stark auf Werkzeuge von der endlichen Modelltheorie beruht. Wir geben einen alternativen, völlig elementaren Beweis, der durch einfache syntaktische Manipulationen von Auflösungsreflexionen funktioniert. Als Nebenprodukt entwickeln wir eine Black-Box-Technik zum Nachweis von Raumuntergrenzen über ein statisches Komplexitätsmaß, das gegen jede Auflösung replitiert. Wir schließen daraus, dass die damit zusammenhängende Frage nach dem Polynomkalkül (d. H. Ob der Raum eine obere Grenze des Grades ist) durch ähnliche Methoden unwahrscheinlich ist. Auf der AlekhnovichndashRazborov-Grad-Untergrenze für die Polynomrechnung Alekhnovich und Razborov (untere Schranken für Polynomkalkül: nicht-binomialer Fall) ergab eine hochentwickelte untere Schranke für Beweise im Polynomkalkül-Beweissystem. Allerdings ist ihr Nachweis etwas undurchsichtig. Wir stellen einen anderen, intuitiveren Beweis vor. Wir passen auch unseren Beweis an, um ähnliche Ergebnisse von Galesi und Lauria zu erhalten. Die Arbeit, die während des Besuchs der KTH im Dezember 2012 durchgeführt wurde. Semantische gegen syntaktische Schnittebenen (mit Pavel Hrube154 und Massimo Lauria) Schneidebenen ist ein Beweissystem, in dem Linien lineare Ungleichungen sind. Es hat zwei Hauptvarianten: syntaktische Schnittebenen, in denen spezifische Ableitungsregeln angegeben sind, und semantische Schnittebenen, in denen jede beschränkte Fan-in-Ableitung, die semantisch korrekt ist (für alle Null-Eins-Zuweisungen zu Variablen), erlaubt ist. Nur die syntaktische Version ist ein CookndashReckhow-Proof-System, da die Überprüfung eines semantischen Schneideebenenbeweises coNP-complete ist. Extending earlier work of Pudlaacutek, we give an exponential lower bounds for semantic cutting planes. We also show that semantic cutting planes is exponentially stronger than syntactic cutting planes, and exhibit two contradictory lines which take exponentially long to refute in syntactic cutting planes. This work is a combination of two earlier preprints: a preprint of Pavel Hrube154 proving the exponential lower bound for semantic cutting planes, and a preprint of Massimo Lauria and myself proving the exponential separation between semantic and syntactic cutting planes. Approximation algorithms Maximum coverage over a matroid (with Justin Ward) We present an optimal, combinatorial 1minus1 e approximation algorithm for Maximum Coverage over a matroid constraint, using non-oblivious local search. Calinescu, Chekuri, Paacutel and Vondraacutek have given an optimal 1minus1 e approximation algorithm for the more general problem of monotone submodular maximization over a matroid constraint. The advantage of our algorithm is that it is entirely combinatorial, and in many circumstances also faster, as well as conceptually simpler. Following previous work on satisfiability problems by Alimonti and by Khanna, Motwani, Sudan and Vazirani. our local search algorithm is non-oblivious . That is, our algorithm uses an auxiliary linear objective function to evaluate solutions. This function gives more weight to elements covered multiple times. We show that the locality ratio of the resulting local search procedure is at least 1minus1 e . Our local search procedure only considers improvements of size 1. In contrast, we show that oblivious local search, guided only by the problems objective function, achieves an approximation ratio of only ( n minus1)(2 n minus1minus k ) when improvements of size k are considered. In general, our local search algorithm could take an exponential amount of time to converge to an exact local optimum. We address this situation by using a combination of approximate local search and the same partial enumeration techniques used by Calinescu et al. resulting in a clear (1minus1 e )-approximation algorithm running in polynomial time. We obtained our auxiliary linear objective function using linear programming. This is detailed in Wards thesis. A tight combinatorial algorithm for submodular maximization subject to a matroid constraint (with Justin Ward) FOCS 2012, SICOMP We present an optimal, combinatorial 1minus1 e approximation algorithm for monotone submodular optimization over a matroid constraint. Compared to the continuous greedy algorithm due to Calinescu, Chekuri, Paacutel and Vondraacutek. our algorithm is extremely simple and requires no rounding. It consists of the greedy algorithm followed by local search. Both phases are run not on the actual objective function, but on a related auxiliary potential function, which is also monotone submodular. In our previous work on maximum coverage (the preceding paper), the potential function gives more weight to elements covered multiple times. We generalize this approach from coverage functions to arbitrary monotone submodular functions. When the objective function is a coverage function, both definitions of the potential function coincide. Our approach generalizes to the case where the monotone submodular function has restricted curvature. For any curvature c . we adapt our algorithm to produce a (1minus e minus c ) c approximation. This matches results of Vondraacutek. who has shown that the continuous greedy algorithm produces a (1minus e minus c ) c approximation when the objective function has curvature c with respect to the optimum, and proved that achieving any better approximation ratio is impossible in the value oracle model. The paper exists in several different versions: The FOCS version only contains the case c 1. The ArXiv version contains the result for general c . A similar account can be found in Wards thesis. The journal version contains a significantly simplified proof of the result for general c . The extended version includes slightly better approximation ratios for bounded matroid rank, and an improved version of the continuous greedy algorithm. The exposition gives a simplified exposition of the main part of the analysis, following ideas of Moran Feldman. The journal version supersedes the previous versions. Social choice theory Threshold models for competitive influence in social networks (with Allan Borodin and Joel Oren) The problem of influence maximization deals with choosing the optimal set of nodes in a social networks so as to maximize the resulting spread of a technology (opinion, product ownership and so on), given a model of diffusion of influence in a network. A natural extension is a competitive setting, in which the goal is to maximize the spread of our technology in the presence of one or more competitors. We suggest several natural extensions to the well-studied linear threshold model, showing that the original greedy approach cannot be used. Furthermore, we show that for a broad family of competitive influence models, it is NP-hard to achieve an approximation that is better than a square root of the optimal solution the same proof can also be applied to give a negative result for a conjecture in Carnes et al. about a general cascade model for competitive diffusion. Finally, we suggest a natural model that is amenable to the greedy approach. Efficient vote elicitation under candidate uncertainty (with Craig Boutilier and Joel Oren) Top - k voting is an especially natural form of partial vote elicitation in which only length - k prefixes of rankings are elicited. We analyze the ability of top - k vote elicitation to correctly determine true winners with high probability, given probabilistic models of voter preferences and candidate availability. We provide bounds on the minimal value of k required to determine the correct winner under the plurality and Borda voting rules, considering both worst-case preference profiles and profiles drawn from the impartial culture and Mallows probabilistic models. We also derive conditions under which the special case of zero elicitation (i. e. k 0) produces the correct winner. We provide empirical results that confirm the value of top - k voting. The proof of Theorem 10 is incomplete, but the issue is fixed in future work. Efficient voting via the top - k elicitation scheme: a probabilistic approach (with Joel Oren) Many voting rules require the voters to give a complete preference order over the candidates. This is cumbersome, leading to the notion of top - k voting . in which the voters only give the length - k prefixes of their rankings. The question that we ask in this paper is: given a voting rule, for what value of k is it possible to predict the overall winner given only the length - k prefixes, with high probability, given enough voters We first consider the case of an impartial culture . in which the voters choose their preference profiles uniformly at random over all permutations. For positional scoring rules (like Borda) we give a nearly-tight threshold theorem for k . We also prove a strong, though non-optimal, lower bound for Copeland. When the preference profiles are drawn from a biased distribution, such as the Mallows distribution, we show that the candidate toward which the distribution is biased wins the elections, for both positional scoring rules and Copeland, with high probability. Finally, we consider adversarially-chosen preference distributions. We show that for positional scoring rules with geometrically decaying scores, k O (log n ) suffices to predict the winner with high probability. Power distribution in randomized weighted voting: the effects of the quota (with Joel Oren, Yair Zick and Yoram Bachrach) IJCAI 2016 (first half), SAGT 2016 (second half) We study the Shapley value in weighted voting games. The Shapley value has been used as an index for measuring the power of individual agents in decision-making bodies and political organizations, where decisions are made by a majority vote process. We characterize the impact of changing the quota (i. e. the minimum number of seats in the parliament that are required to form a coalition) on the Shapley values of the agents. Contrary to previous studies, which assumed that the agent weights (corresponding to the size of a caucus or a political party) are fixed, we analyze new domains in which the weights are stochastically generated, modeling, for example, elections processes. We examine a natural weight generation process: the Balls and Bins model, with uniform as well as exponentially decaying probabilities. We also analyze weights that admit a super-increasing sequence, answering several open questions pertaining to the Shapley values in such games. Our results for the balls and bins model with exponentially decaying probabilities rely on a formula for the Shapley values of super-increasing sequences. Curiously, this formula gives rise to a continuous function reminiscent of Minkowskis question mark function. Shapley values in random weighted voting games (with Joel Oren and Kannan Soundararajan) We study the distribution of Shapley values in weighted voting games. The Shapley values measure the voting power collective decision making systems. While easy to estimate empirically given the parameters of a weighted voting game, the Shapley values are hard to reason about analytically. We propose a probabilistic approach, in which the agent weights are drawn i. i.d. from some known exponentially decaying distribution. We provide a general closed-form characterization of the highest and lowest expected Shapley values in such a game, as a function of the parameters of the underlying distribution. To do so, we give a novel reinterpretation of the stochastic process that generates the Shapley variables as a renewal process. We demonstrate the use of our results on the uniform and exponential distributions. Miscellaneous Automatic web-scale information extraction (with Philip Bohannon, Nilesh Dalvi, Nori Jacoby, Sathiya Keerthi and Alok Kirpal) In this demonstration, we showcase the technologies that we are building at Yahoo for web-scale information extraction. Given any new website, containing semi-structured information about a pre-specified set of schemas, we show how to populate objects in the corresponding schema by automatically extracting information from the website. Work done while I was a summer intern in Yahoo Tel Aviv. Lower bounds for context-free grammars Information Processing Letters, Volume 111, Issue 18, 2011, pp. 895ndash898 Ellul, Krawetz, Shallit and Wang prove an exponential lower bound on the size of any context-free grammar generating the language of all permutations over some alphabet. We generalize their method and obtain exponential lower bounds for many other languages, among them the set of all squares of given length, and the set of all words containing each symbol at most twice. The version below corrects two typos in the proof of Proposition 6: w 1 sim w 2 should be x ( w 1 )sim x ( w 1 ), and in the following sentence N minus1 ( A ) should be x ( N minus1 ( A )) and a typo in the statement of Theorem 9: the exponent should be t rather than n . Inequalities on submodular functions via term rewriting Information Processing Letters, Volume 113, Issue 13, 2013, pp. 457ndash464 We devise a method for proving inequalities on submodular functions, with a term rewriting flavour. Our method comprises of the following steps: Start with a linear combination X of the values of the function. Define a set of simplification rules. Conclude that X geq Y . where Y is a linear combination of a small number of terms which cannot be simplified further. Calculate the coefficients of Y by evaluating X and Y on functions on which the inequality is tight. The crucial third step is non-constructive, since it uses compactness of the dual cone of submodular functions. Its proof uses the classical uncrossing technique with a quadratic potential function. We prove several inequalities using our method, and use them to tightly analyze the performance of two natural (but non-optimal) algorithms for submodular maximization, the random set algorithm and local search. Universal codes of the natural numbers Logical Methods in Computer Science, Volume 9, Issue 3, 2013, Paper 7. A code of the natural numbers is a uniquely-decodable binary code of the natural numbers with non-decreasing codeword lengths, which satisfies Krafts inequality tightly. We define a natural partial order on the set of codes, and show how to construct effectively a code better than a given sequence of codes, in a certain precise sense. As an application, we prove that the existence of a scale of codes (a well-ordered set of codes which contains a code better than any given code) is independent of ZFC. On the spectra of direct sums and Kronecker products of side length 2 hypermatrices (with Edinah K. Gnang) We study the spectral theory of hypermatrices, initiated by Gnang, Elgammal and Retakh. Here are some of our results: We show that Hadamard hypermatrices of side length 2 exist unless the order is an even number larger than 2. We determine the characteristic polynomial and hyperdeterminant of matrices of side length 2. We generalize the Rayleigh quotient to hypermatrices. Unpublished notes Spectral methods for intersection problems A survey of Friedguts research program in extremal combinatorics. Friedgut uses spectral methods mdash Hoffmans eigenvalue bound mdash to obtain tight bounds on measures of intersecting families. His method has the advantage of implying stability . families of near-maximal measure are similar to families of maximal measure. I prepared this survey for my depth oral. Monotone feasible interpolation as games Bonet, Pitassi and Raz and, independently, Krajiacute269ek came up with the idea to use feasible interpolation as a vehicle for lower bounds on proof systems. Bonet et al. presented their construction in a somewhat ad hoc manner, and Krajiacute269ek used a theorem of Razborov generalizing KarchmerndashWigderson games. We provide a different interpretation of their arguments in terms games which are more suitable than the ones considered by Razborov. Our account includes three flavors of arguments: ones following Bonet et al. ones following Krajiacute269ek, and ones following a suggestion of Neil Thapen. The different arguments prove lower bounds for slightly different formulas. The Carromboard Problem Snepscheut came up with the following puzzle. There is a table with four coins at the center of the four sides. The goal is to get all of the coins in the same orientation, that is, all heads or all tails. You never get to see the coins (you are blindfolded), but you can turn one or two of them. Prior to each move, the table is rotated by an arbitrary, unknown multiple of 90 degrees. How many moves do you need to reach the goal D307kstra generalized the solution to 2 n sides. We consider an even more general problem, in which the table has n sides, and the coins have m ldquostatesrdquo which are modified by addition modulo m (more generally, one could think of a finite Abelian group for the state of the coins). We show that: The puzzle is solvable if and only if either n 1, m 1, or n and m are powers of the same prime. When m is prime, we explicitly describe all minimum-length solutions. For similar results and more, see Rotating-table games and derivatives of words by Bar Yehuda, Etzion and Moran. Seven trees in one Andreas Blass explained how the type-theoretic identity T 1 T 2 for binary trees leads to a ldquofinitisticrdquo identity T 7 T (the solution to the former equation is a primitive sixth root of unity). More generally, he proved that two polynomials in T are ldquoequalrdquo (under his finitistic interpretation) if and only if they agree on a primitive sixth root of unity and in terms of cardinalities. We give an exposition of this result (using work by Fiore and Leinster ), using a more intuitive definition of ldquostrongrdquo equality, as equality given by an algorithm which also works for infinite binary trees. This talk was given in the Toronto Student Seminar on 1692009. Modern integer factorization methods We survey several modern integer factorization methods, including Pollards rho . Pollards p minus1, Williams p 1, the elliptic curve method, Shanks continued fractions algorithm, the quadratic sieve (including MPQS and Dixons provable variant) and the number-field sieve (which is only sketched). Originally given as a talk in the Toronto Student Seminar on 25112009, this talk has proven popular and I gave it several more times. Two proofs of the central limit theorem We provide two proofs of the central limit theorem (up to Leacutevys continuity theorem), one using cumulants and the other using moments. As a bonus, we also prove the asymptotic normality of the number of distinct prime factors of a lsquorandomrsquo integer. Our account follows the exposition in the book The semicircle law, free random variables and entropy. This talk was given in the Toronto Student Seminar on 2012010. Hardness of approximating set cover An exposition of Feiges celebrated result on the hardness of approximating set cover. This talk was given as part of the PCP reading group on 2312010. Matrix multiplication An exposition on algorithms for matrix multiplication, in two parts: Part 1: The arithmetic model. Bilinear normal form for matrix multiplication. Tensor notation and tensor rank. Border rank. Schoumlnhages tau theorem (the asymptotic sum inequality). Coppersmiths Otilde ( n 2 ) algorithm for multiplying rectangular matrices. Part 2: The laser method. The Coppersmith-Winograd algorithms. Capacity: the fundamental combinatorial underpinning of the Coppersmith-Winograd method. These talks were given in the Toronto Student Seminar on 222012 and 922012, though the second one has been significantly updated since. The talks were given again in the IAS theory seminar, on 2522014 and 432014. The second part has been significantly updated: the combinatorial construction has been simplified following Davie and Stothers, and the general presentation follows Le Galls recent paper. Permanent is hard to compute even on a good day Cai, Pavan and Sivakumar showed that it is hard to compute the permanent even with an inversely polynomial success probability, assuming the worst-case hardness of computing the permanent. Their proof combines the LFKN protocol with Sudans list-decoding algorithm for Reed-Solomon codes. We given an exposition of their result, as well as several results leading to it. This talk was given in the Toronto Student Seminar on 1792012. Submodular maximization We survey several recent algorithmic results on submodular maximization: The greedy algorithm for monotone submodular maximization over uniform matroids. The continuous greedy algorithm for monotone submodular maximization over arbitrary matroids (Calinescu, Chekuri, Paacutel and Vondraacutek ). The non-oblivious local search algorithm for monotone submodular maximization over arbitrary matroids (Filmus and Ward ). Uncostrained non-monotone submodular maximization (Buchbinder, Feldman, Naor and Schwartz ). We also briefly survey some lower bounds: 1minus1 e NP-hardness for maximum coverage (Feige ). 1minus1 e value oracle hardness for monotone submodular maximization over a uniform matroid (Nemhauser and Wolsey ). 12 value oracle hardness for unconstrained submodular maximization (Feige, Mirrokni and Vondraacutek ). The symmetry gap method (Vondraacutek. Dobzinski and Vondraacutek ). This talk was given in the Toronto Student Seminar on 3112013. Expositions Smolenskys polynomial method We give an exposition of Smolenskys fundamental paper on the polynomial method, a lower bound method in circuit complexity. Books usually contain a simpler argument which works only for parity, whereas Smolenskys argument also works for majority (directly). Our exposition omits the step of approximating a constant depth circuit by a low-degree polynomial. Forcing with random variables and proof complexity An exposition of parts of Jan Krajiacute269eks book Forcing with random variables and proof complexity. concentrating on lower bounds for constant depth proof systems. Parts of this exposition has been given as talks in a reading group on the book on 1362013 and 2062013. Harpers isoperimetric inequality An exposition of Harpers proof of his edge isoperimetric inequality for the hypercube, following his book Global methods for combinatorial isoperimetric problems . The proof uses a generalization of shifting that Harper calls compression . Compared to Harpers original proof (also reproduced in the book), the compression proof includes only one simple calculation. Short notes Antichains on the Boolean lattice of dimension 6 We provide a list of all inequivalent non-trival antichains on the Boolean lattice of dimension 6, excluding the empty antichain and the one containing the empty set. Alternatively, this is a list containing all inequivalent non-constant monotone Boolean functions on six inputs, given by their minterms. Antichains depending of dimension n are given in terms of the points 1, hellip, n . The number of antichains of given dimension (including the two trivial cases) forms the sequence A003182. NPN equivalence classes of Boolean functions Two Boolean functions are NPN-equivalent if they can be reached from one another by permuting the inputs, negating some of the inputs, and possibly negating the output. The number of different equivalence classes for a given number of variables forms the sequence A000370. which starts 2, 4, 14, 222, 616126, for functions of 1 to 5 variables, respectively. For n up to 5, we have compiled a list of all NPN-equivalence classes of Boolean functions on n variables. Each such function is given as a hexadecimal integer in which bit i is the value at the i th input. Triangle-intersecting families of graphs on eight vertices We given a Katona-like proof that a triangle-intersecting family of graphs contains at most 18 of the graphs. Unfortuantely, our proof works only on up to eight vertices. We discuss several other methods which also cannot give a general proof. Parts of this note are summarized in my thesis. Khintchine-Kahane using Fourier Analysis Lata0322a and Oleszkiewicz proved the special L 1 case of the Khintchine-Kahane inequality. We reformulate their proof using Fourier analysis. Regular languages closed under Kleene plus Vincenzo Ciancia asked on cstheory. stackexchange about the class of regular languages satisfying the following property: whenever a word w belongs to the language, all of its positive powers w k also belong to the language. He termed these languages lsquocircular languagesrsquo. Answering his question, we have shown the following: Every circular language can be written as the union of expressions r . We exhibit a language where this union cannot be disjoint. Given a DFA for a regular language, it is PSPACE-complete to decide whether the language is circular. The normal form appears in a paper by Calbrix and Nivat. and the PSPACE-completeness result follows quite easily from a paper by Kozen. as I detail in my answer. My proofs appear below. Self-avoiding walks on the integers which move at most two integers at a time Yaroslav Bulatov asked on mathoverflow what is the asymptotic number of self-avoiding integer walks of length n in which adjacent positions are either 1 or 2 apart. We obtain a formula for the exact number of such walks, and deduce that it is Otilde ( mu n ), where mu asymp2.20556943040059. On the sequence n mod x . 1leq x leqradic n Avinoam Braverman considered the sequence n mod x . where 1leq x leqradic n . took its local minima, and plotted the results. When n is large, a curious pattern composed out of what seem to be triangles appears. We explain this phenomenon heuristically, given formulas for the envelope of the ldquotrianglesrdquo (which turn out to be quadratic functions). We go on to describe the envelope of the plot when an arbitrary number of the local minima and local maxima operations are composed. Largest adjacent segments on the unit circle Suppose n points are thrown on the circumference of a unit-circumference circle, partitioning the circumference into n segments. What is the expected length of the k th smallest segment There is a well-known formula for this expectation. We consider the expected length of k th smallest two adjacent segments. We develop a method for computing them exactly, and compute the expectations for several small n , k . The results do not seem to fit into a nice pattern. Permutations avoiding patterns of length 3 We provide a bijective proof for the well-known fact that the number of 123-avoiding permutations and the number of 132-avoiding permutations are both counted by Catalan numbers. Simion and Schmidt came up with a direct bijection between the two sets of permutations, and their proof is recommended over mine. Until cannot be expressed using Next, Always, Eventually It is well-known that the until operator in linear temporal logic (LTL) cannot be expressed using next . always and eventually . We provide a simple proof of this fact. Equivalent definitions of the SpraguendashGrundy function We prove that several equivalent definitions of the SpraguendashGrundy function coincide (an exercise given in a course on combinatrial games given by Aviezri Fraenkel). Proof of the mu p version of the Erd337sndashKondashRado theorem using Katonas method Katona gave a simple proof of the Erd337sndashKondashRado theorem. We adapt his proof to the mu p setting. We are also able to prove uniqueness, but not stability. Examples of the GCD proof system If ( x , y )1 then ( x y , xy )1. The first part shows how to prove this using standard arguments and using the characterization of GCD as the minimal positive value obtained as an integer combination of the operands. The second part generalizes the argument to a lemma involving n variables. A combinatorial interpretation for the product of two geometric series in independent variables We give a combinatorial proof of the identity 1(1minus x )sdot1(1minus y ) 1(1minus x minus y xy ). Thirteenth proof of a result about tiling a rectangle Stan Wagon gave fourteen proofs of the following result about tiling a rectangle: if a rectangle can be tiled using rectangles with at least one integral side, then the tiled rectangle also has at least one integral side. We paraphrase his 13th proof. A positive proof of Dehns theorem Dehn proved that if a rectangle can be tiled by rectangles whose sides are commensurable, then the tiled rectangle is also commensurable. His proof, as described in Proofs from the book . applies a homomorphism which results in possibly negative side lengths. We modify his proof so that all side lengths are positive. The crucial ingredient is the following lemma: for each finite set of positive reals there is a basis (over the rationals) of positive reals such that every element in the set is a non-negative integral combination of base elements. We provide two proofs of this lemma, one due to us and one due to Avinoam Braverman. On the number of NOT gates needed to invert n inputs We solve the following puzzle: given an arbitrary supply of AND gates and OR gates, invert n inputs using as few NOT gates as possible. Orthogonal matrices with optimal L 2 norm Question 8 in Chapter 2 of The Probabilistic Method asks us to show that for every n times n orthogonal matrix and 1leq k leq n . there is a column such that the squared L 2 norm of its first k entries is at least k n . or at most k n . It also asks for an example in which this is tight. We exhibit such an example which works simultaneously for all k . Riddle concerning pm1 vectors A big sheet of paper contains 2 n rows consisting of all possible vectors of length n whose entries are 1 or minus1. Someone changes some of the entries to zero. Show that there must be a non-empty subset of the rows summing to zero. Probably much harder than you think it is Range of symmetric matrices mod 2 We show that the range of a symmetric matrix over GF (2) always contains its diagonal. We present both our algorithmic proof and a simple proof by Noga Alon. A simplification of our proof has been given by Soltys (Lemma 9). Lagranges proof of the four square theorem Deacutemonstration dun Theacuteoregraveme dArithmeacutetique, Nouveaux Meacutemoires de lAcadeacutemie royale des Science et Belles-Lettres de Berlin . anneacutee 1770. Lagranges proof of Wilsons theorem Deacutemonstration dun Theacuteoregraveme nouveau concernant les Nombres premiers, Nouveaux Meacutemoires de lAcadeacutemie royale des Science et Belles-Lettres de Berlin . anneacutee 1771. Hurwitzs proof of the transcendence of e Beweis der Transzendenz der Zahl e . Mathematische Annalen . Bd. 43, 1893, S. 220ndash221. Translation from Hersteins Topics in Algebra . p. 176ndash178. Gordans proof of the transcendence of e and pi Transcendenz von e und pi . Mathematische Annalen . Bd. 43, 1893, S. 222ndash224. Hilberts proof of the transcendence of e and pi Uumlber die Transzendenz der Zahlen e und pi . Mathematische Annalen . Bd. 43, 1893, S. 216ndash219. Hurwitzs proof that four-square-like identities only occur in dimensions 1,2,4,8 Uumlber die Komposition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variablen, Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Goumlttingen, Mathematisch-physikalische Klasse . 1898, S. 309ndash316. McKays easy proof of Cauchys theorem in group theory Another proof of Cauchys theorem, American Mathematical Monthly . Vol. 66 (February 1959), p. 119. Wilkies proof of the switching lemma Excerpt from Modegraveles non-standard en arithmeacutetique et theacuteorie des ensembles . Jean-Pierre Ressayre amp Alec J. Wilkie. A collection of poems by Shalom Shabazi Shalom Shabazi is the most important Jewish poet from Yemen. Following a facsimile of a diwan published by Seri and Tobi, we have copied a few of his Hebrew poems. The Kuzari in Arabic The Kuzari is an important Jewish theological work attributed to the medieval poet Yehuda Halevi. While originally written in Arabic, it is usually found in translation. Following an edition by Rabbi Qafih, we have copied the entire Arabic text. Self-portraits Other stuff Field ration (a poem by David Avidan) My translation of Avidans poem Menat Krav . in which Avidan, wary of the world, sleeps for 2000 years and awakens to a sci-fi future. 20 Patiencen A patience collection by Ella von Haunstein from the early 20th century, regrettably without the diagrams. An etiology of the major and minor scales Our own contribution to the mythological origins of the diatonic scales. On the background The background image is the final result of a 2D cellular automaton. For rules and animations, follow the link. Rhythms of resistance Rhythms of resistance is a world-wide network of political samba bands. I have prepared Python code for generating rhythms, along with two examples. There is also a cheat sheet if youre playing.
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